Đề thi HSG toán 9 Thạch Thành 2020 – 2021 kèm hướng dẫn

Like Tweet Pin it Share Share Email

Đề thi HSG toán 9 Thạch Thành 2020 – 2021 kèm hướng dẫn

Câu 1 (4,0 điểm).

1) Cho biểu thức: A = \frac{{x(\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } )}}{{\sqrt {{x^2} - 8x + 16} }} với x > 4

Rút gọn A và tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.

2) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời các điều kiện x + y + z = 2,{x^2} + {y^2} + {z^2} = 18 và  xyz = - 1. Tính giá trị của

S = \frac{1}{{xy + z - 1}} + \frac{1}{{yz + x - 1}} + \frac{1}{{zx + y - 1}} \cdot

Câu 2 (4,0 điểm)

1) Giải phương trình: \sqrt {2{x^2} + 22x + 29} - x - 2 = 2\sqrt {2x + 3}

2) Giải hệ phương trình: \left\{ \begin{array}{l}{y^2} - y\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right) + \sqrt {x - 1} = 0\\{x^2} + y - \sqrt {7{x^2} - 3} = 0.\end{array} \right.

Câu 3 (4,0 điểm)

1) Cho  x, y, z là các số nguyên thỏa mãn {x^2} + {y^2} = 2{z^2}. Chứng minh rằng {x^2} - {y^2} \vdots 48.

2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình {x^3} + {y^6} + {27^z} = {1996^2}

Câu 4 (6,0 điểm)

Cho đường tròn (O, r) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với cạnh BC  tại D. Vẽ đường kính DN của đường tròn (O, r). Tiếp tuyến của đường tròn (O,) tại N cắt AB, AC  thứ tự tại P và K.

1) Chứng minh rằng: NK.CD = r2

2) Gọi E là giao điểm của AN và BC. Chứng minh rằng: BD = CE .

3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \frac{{OA + OB + OC}}{r}

Câu 5 (2,0 điểm)

Cho các số thực dương x, y, x thỏa mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng:

\frac{{2{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{4 - yz}} + \frac{{2{y^2} + {z^2} + {x^2}}}{{4 - zx}} + \frac{{2{z^2} + {x^2} + {y^2}}}{{4 - xy}} \ge 4xyz.

Hướng dẫn một số câu

Câu 4:

a) Ta chứng minh OK và OC vuông góc. Từ đó chứng minh được hai tam giác NOK và DCO đồng dạng đến đây coi như giải quyết xong bài toán.

b) Ta chứng minh được NP.BD =  NP.BD = r2 (tương tự câu a) tận dụng thêm NK //EC, PK // BC và dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta sẽ giải quyết được.

c) Kẻ AA’ và CC’ vuông góc với BO lần lượt tại A’ và C’. Đặt AB = c, AC = b, BC = a, dùng kiến thức diện tích ta chứng minh được  \frac{{OB}}{r} \ge \frac{{c + a}}{b}.

Đến đây các bạn tự thực hiện tiếp.

Comments (0)

Trả lời

Your email address will not be published. Required fields are marked *