Đề thi HSG toán 9 Nha Trang 2020 – 2021 + Hướng dẫn

Like Tweet Pin it Share Share Email

Đề thi HSG toán 9 Nha Trang 2020 – 2021

Bài 1 (5,0 điểm)

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức: A = \frac{{{a^3} - 4{a^2} - a + 4}}{{{a^3} - 7{a^2} + 14a - 8}} \cdot

b) Cho ba số đôi một khác nhau và khác 0, thỏa mãn: \frac{{a + b}}{c} = \frac{{b + c}}{a} = \frac{{c + a}}{b} \cdot . Tính giá trị biểu thức: B = \left( {1 + \frac{a}{b}} \right)\left( {1 + \frac{b}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{a}} \right) \cdot .

Bài 2: (2,0 điểm)

Tìm x biết: \;\frac{{{{\left( {2020 - x} \right)}^2} + \left( {2020 - x} \right)\left( {x - 2021} \right) + {{\left( {x - 2021} \right)}^2}}}{{{{\left( {2020 - x} \right)}^2} - \left( {2020 - x} \right)\left( {x - 2021} \right) + {{\left( {x - 2021} \right)}^2}}} = \frac{{19}}{{49}}

Bài 3: (2,0 điểm)

Cho a, b là các số dương thỏa mãn a3 + b3 = a – b. Chứng minh a2 + b2 + ab < 1

Bài 4: (2 điểm)

Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số, biết rằng khi thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục và thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta vẫn được một số chính phương.

Bài 5: (7 điểm)

Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho AE = AF.

a) Chứng minh tam giác EDF vuông cân.

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là trung điểm của EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng.

c) Gọi M, N lần lượt là hai điểm di động trên các đoạn thẳng AB, AD  sao cho BM = AN ( M không trùng với A, B). Xác định vị trí của M, N để diện tích tứ giác BMND nhỏ nhất.

Bài 6 (2 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 5 điểm có tọa độ là các số nguyên. Chứng minh rằng có ít nhất một trung điểm của đoạn thẳng tạo thành từ 5 điểm đã có tọa độ là các số nguyên. ( Trong mặt phẳng tọa độ Oxy: Tọa độ trung điểm bằng trung bình cộng các tọa độ tương ứng của hai đầu đoạn thẳng).

Hướng dẫn giải

Bài 1

a) ĐKXĐ: a ≠ 1; 2; 4

b) A = \frac{{{a^3} - 4{a^2} - a + 4}}{{{a^3} - 7{a^2} + 14a - 8}} = \frac{{{a^2}\left( {a - 4} \right) - \left( {a - 4} \right)}}{{{a^3} - 4{a^2} - 3{a^2} + 12a + 2a - 8}} = \frac{{\left( {a - 4} \right)\left( {{a^2} - 1} \right)}}{{{a^2}\left( {a - 4} \right) - 3a\left( {a - 4} \right) + 2\left( {a - 4} \right)}}

= \frac{{\left( {a - 4} \right)\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}{{\left( {a - 4} \right)\left( {{a^2} - 3a + 2} \right)}} = \frac{{\left( {a - 4} \right)\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}{{\left( {a - 4} \right)\left( {a - 1} \right)\left( {a - 2} \right)}} = \frac{{a + 1}}{{a - 2}}

b) Ta có: \frac{{a + b}}{c} = \frac{{b + c}}{a} = \frac{{c + a}}{b} = \frac{{a + b + b + c + c + a}}{{a + b + c}} = \frac{{2\left( {a + b + c} \right)}}{{a + b + c}} = \left[ \begin{array}{l} 0\,\,\left( {a + b + c = 0} \right)\\ 2\,\,\left( {a + b + c \ne 0} \right) \end{array} \right. (T/c dãy tỉ số bằng nhau)

TH1: Nếu a + b + c = 0\,\, \Rightarrow \,\,a + b = b + c = c + a = 0\,\, \Rightarrow \,\,B = \left( {\frac{{a + b}}{b}} \right)\left( {\frac{{b + c}}{c}} \right)\left( {\frac{{c + a}}{a}} \right) = 0.

TH2: Nếu a + b + c \ne 0\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l} a + b = 2c\\ b + c = 2a\\ c + a = 2b \end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow \,\,B = \left( {\frac{{a + b}}{b}} \right)\left( {\frac{{b + c}}{c}} \right)\left( {\frac{{c + a}}{a}} \right) = \left( {\frac{{2c}}{b}} \right)\left( {\frac{{2a}}{c}} \right)\left( {\frac{{2b}}{a}} \right) = 8.

Bài 2:

Ta có: \;\left( 1 \right)\,\, \Leftrightarrow \,\,\frac{{{{\left( {2020 - x} \right)}^2} - \left( {2020 - x} \right)\left( {2021 - x} \right) + {{\left( {2021 - x} \right)}^2}}}{{{{\left( {2020 - x} \right)}^2} + \left( {2020 - x}\right)\left({2021 - x} \right) + {{\left( {2021 - x} \right)}^2}}} = \frac{{19}}{{49}}\,\,\,\left( 2 \right)

Đặt \;2020 - x\, = a\,\, \Rightarrow \,\,2021 - x\,\, = \,\,a + 1

\;\left( 2 \right)\,\, \Leftrightarrow \,\,\frac{{{a^2} - a\left( {a + 1} \right) + {{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{{a^2} + a\left( {a + 1} \right) + {{\left( {a + 1} \right)}^2}}} = \frac{{19}}{{49}}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,49.\left[ {{a^2} - a\left( {a + 1} \right) + {{\left( {a + 1} \right)}^2}} \right] = 19.\left[ {{a^2} + a\left( {a + 1} \right) + {{\left( {a + 1} \right)}^2}} \right] \; \Leftrightarrow \,\,30{a^2} - 68a\left( {a + 1} \right) + 30{\left( {a + 1} \right)^2} = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,15{a^2} - 34\left( {{a^2} + a} \right) + 15{\left( {a + 1} \right)^2} = 0 \; \Leftrightarrow \,\,4{a^2} + 4a - 15 = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}a = \frac{3}{2}\\a = \frac{{ - 5}}{2}\end{array} \right.

Từ đây ta chia hai trường hợp và giải.

Comments (0)

Trả lời

Your email address will not be published. Required fields are marked *