Đề thi HSG toán 9 Mê Linh 2020 – 2021 có hướng dẫn

Like Tweet Pin it Share Share Email

Đề thi HSG toán 9 Mê Linh 2020 – 2021

Câu 1 (5,0 điểm)

1) Cho biểu thức P = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{5 - \sqrt x }} - \frac{{3x +4\sqrt x - 5}}{{x - 4\sqrt x - 5}}(x \ge 0;x \ne 25)

a) Rút gọn P. Tìm các số thực x để P > – 2.

b) Tìm các số tự nhiên x là số chính phương sao cho P là số nguyên.

2) Cho x, y, z  là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 2019xyz. chứng minh rằng:

\frac{{{x^2} + 1 + \sqrt {2019{x^2} + 1} }}{x} + \frac{{{y^2} + 1 + \sqrt {2019{y^2} + 1} }}{y} + \frac{{{z^2} + 1 + \sqrt {2019{z^2} + 1} }}{z} \le 2019.2020xyz

Câu 2 (5,0 điểm)

1) Cho  x = \sqrt {4 + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } + \sqrt {4 - \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } . Tính giá trị biểu thức

P = \frac{{{x^4} - 4{x^3} + {x^2} + 6x + 12}}{{{x^2} - 2x + 12}}.

2) Cho x = 1 + \sqrt[3]{2} . Tính giá trị của biểu thức B = {x^5} - 2{x^4} + {x^3} - 3{x^2} + 2020. (1 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết AH = 16cm, BH = 25cm. Tính độ dài AC, BC (Kết quả làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai).

Câu 3: (4,0 điểm)

a) Cho a, b, c là các số nguyên dương đôi một khác nhau thoả mãn a3 + b3 + c3 = 3abc. Chứng minh rằng 2(a4 + b4 + c4) là số chính phương.

b) Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = \sqrt {{x^2} - 6x + 25} + \sqrt {{y^2} - 6y + 25} + \sqrt {{z^2} - 6z + 25}

Câu 4 (4,0 điểm)

  1. Cho hình thang ABC (AB // CD, AB < CD ). Gọi K, M lần lượt là trung điểm của BD và AC  Đường thẳng đi qua K và vuông góc với AD cắt đường thẳng đi qua M và vuông góc với BC tại Q. Chứng minh KM // AB, QD = DC.
  2. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Gọi M, N, P, Q lần lượt là hình chiếu của D trên AB, BE, CF, CA. Chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng.

Câu 5(2,0 điểm).

a) Có bao nhiêu tập hợp con A của tập hợp {1; 2; 3; 4; …; 2020} thỏa mãn điều kiện A có ít nhất hai phần tử và nếu x \in A;y \in A;x > y thì  \frac{{{y^2}}}{{x - y}} \in A.

b) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x, y) thỏa mãn điều kiện các số 2(x2 + y2 – 3x + 2y) – 1 và 5(x2 + y2 + 4x + 2y + 3) đều là các số chính phương.

Hướng dẫn

Câu 4:

1) Gọi H là trung điểm của AC

Ta có  MH // AB (đường trung bình trong tam giác ABC)

Và  KH // DC (đường trung bình trong tam giác BDC)

mà AB // CD ( ABCD là hình thang)

=> M, K, H thẳng hàng => KM // AB

Gọi G là trung điểm của DC

Có GM // AD (đường trung bình trong tam giác ADC)

mà KQ và AD vuông góc => KQ và MG vuông góc. Tương tự thì MQ vuông góc với KG.

Tiếp theo ta chứng minh được GQ và KM vuông góc

từ đó dễ dàng chứng minh được QDC là tam giác cân.

Comments (0)

Trả lời

Your email address will not be published. Required fields are marked *